综述:矩阵变化的实质是基向量变化,行列式是线性变换的伸缩因子。

矩阵变化的本质

假设有一个点A=(a,b)A = (a, b)可以看成一个矢量A=[ab]\vec{A} = \begin{bmatrix} a \\\\ b \end{bmatrix},如果假设i\vec{i}j\vec{j} 为基向量,可以表示为A=ai+bj\vec{A} = a\vec{i} + b\vec{j},如下图所示。

矩阵变化其实就是 A\vec{A} 旋转等变形后可变为A\vec{A}',可以理解为A\vec{A}左乘一个矩阵Trotate\pmb{T}_{rotate},仍以上面的A=[ab]\vec{A} = \left[\begin{matrix} a \\\\ b \end{matrix} \right] 为例,A=ai+bj\vec{A}' = a\vec{i}' + b\vec{j}' 可以发现其实是基向量发生了变化,分别从 i\vec{i}j\vec{j} 变为了 i\vec{i}'j\vec{j}' ,它其实是一个2x2的矩阵[cedf]\begin{bmatrix} c & e \\\\ d & f \end{bmatrix},最后公式可以为A=[cedf][ab]=a(c+d)i+b(e+f)j\vec{A}' = \begin{bmatrix} c & e \\\\ d & f \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\\\ b \end{bmatrix} = a(c + d)\vec{i} + b(e + f)\vec{j}。所以我们从上面可以理解为矩阵变化的矩阵是基向量的变化。

行列式

具体内容详见REFERENCES#1,在那里详细的介绍了行列式的几何意义以及一些动态演示,在这里我将直接提炼核心内容,并不会过多的介绍细节。

如上面说了,左乘矩阵其实是对基向量的转变,但是 (c+d)(c + d)(e+f)(e + f) 的大小可以左右原基向量的长度是增加还是减小,所以Trotate\pmb{T}_{rotate} 的行列式就可以表示到底是使得原向量增加还是减少。

  • Trotate>1\pmb{T}_{rotate} > 1 会扩大原先向量;
  • Trotate=1\pmb{T}_{rotate} = 1 不会改变原先向量长度,如向量的旋转等;
  • 0<Trotate<10 < \pmb{T}_{rotate} < 1 会缩小原先向量;
  • Trotate=0\pmb{T}_{rotate} = 0 是一个不可逆的变换过程,可以引出矩阵为什么可能是不可逆,稍后做描述;
  • Trotate<0\pmb{T}_{rotate} < 0 就变为了左手法则。

然后说一下可逆矩阵,我简单总结了一下:在左乘矩阵A\pmb{A}把向量变为某一形态后,如果再左乘一个矩阵B\pmb{B}后可以将向量恢复,则说明矩阵A\pmb{A}与矩阵B\pmb{B}互为可逆矩阵。而左乘一个行列式为0的矩阵会丢失原先的信息,没有一个合适的矩阵可以在复原,所以如上所说变成了一个不可逆变换过程。

[0001]\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{matrix} \right]可以将一个向量变换为一条直线,则没有任何一个矩阵可以将其恢复至原来的向量。

REFERENCES