通俗解释

今天《雷神3》上映了,我坐在第一排看电影:

而你坐在最后一排看电影:

我们看的是同一部电影,但是我们各自眼中看到的电影却因为位置不同而有所不同(比如清晰度啊、角度啊),所以说,“第一排看到的电影”和“最后一排看到的电影”是“相似”的。

线性变换

对于一个给定的点A=(a,b)A = (a, b)来说,当基于不同的基向量会得到不同的向量。所以我们可以通过左乘一个矩阵来实现两个基于不同基向量的线性变化。例如y=Ax\vec{y} = \pmb{A} \vec{x}中,我们可以认为x\vec{x}这个向量通过矩阵A\pmb{A}映射到y\vec{y},其中x\vec{x}y\vec{y}都是代表平面上所有的点(向量),我们可以认为线性变换通过指定基向量下的矩阵A\pmb{A}来表示

相似矩阵

线性变换就是电影院中播放的电影,不同的基坐在不同的位置观看,同一部“电影”,不同基“看到”的就是不同的矩阵:同一个线性变换,不同基下的矩阵,成为相似矩阵。

上图为相似矩阵的图示,具体步骤如下:

  1. v\vec{v}’V2V_{2}下的一个点;
  2. v\vec{v}'通过PP变为V1V_{1}下的点,即Pv\pmb{P} \vec{v}'
  3. V1V_{1}下,通过A\pmb{A}矩阵完成线性变换,即APv\pmb{A} \pmb{P} \vec{v}'
  4. 通过P1\pmb{P}^{-1}变回V2V_{2}下的点,即P1Av\pmb{P}^{-1} \pmb{A} \vec{v}'

综上,我们可以有P1Av=Bv\pmb{P}^{-1} \pmb{A} \vec{v}' = \pmb{B} \vec{v}',可以化简为B=P1A\pmb{B} = \pmb{P}^{-1} \pmb{A}。相似矩阵的目的也是为了找到更简单的坐标系,具体例子可以详见REFERENCES #1的对角矩阵。

REFENRENCES